Přednáška
http://efis.tul.cz/~dana.nejedlova/
Počítače I
Přednáška - Čísla v počítači
Cisla_v_pocitaci.pptx

Probralo se to do snímku "Unicode".

Ke zkoušce je třeba znát:
 - Jaká část formátu IEEE 754 určuje
   - rozsah čísla a
     - Exponent
   - přesnost čísla?
     - Mantisa
   - Rozpoznat, zda je dané reálné číslo v desítkové soustavě reprezentovatelné v počítači ve formátu IEEE 754 bez ztráty přesnosti.
   - Jak se liší rozdíl mezi sousedními možnými hodnotami čísla ve formátu IEEE 754 od čísla ve formátu dvojkového doplňku?
     - Ve formátu IEEE 754 může být různý. Ve formátu dvojkového doplňku se sousední čísla liší o jednu.

Cvičení

Přetečení a podtečení

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  char c;
  for (c = 0; c < MAX; c++) {
    printf("%u ", c);
  }
  return 0;
}
Tento program se zacyklí, protože proměnná c nemůže být rovna nebo vyšší než 1000.
Proměnná c je typu char a datový typ char je vždy jednobajtový, má tedy 8 bitů.
Hodnota uložená v 8 bitech může mít hodnotu od 0 do 11111111 (binárně) = 255.

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  unsigned char c;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%u ", c);
    c++; /*c = c + 1;*/
  }
  return 0;
}
Tento program se překládá s varováním \main.c|6|warning: 'c' is used uninitialized in this function [-Wuninitialized]|
Proměnnou c musíme inicializovat, protože k její původní hodnotě něco přičítáme příkazem c++.

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  unsigned char c = 0; /* deklarace s inicializaci */
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%u ", c); /* Ridici retezec formatu "%u " vypisuje hodnoty dle matematickych pravidel prevodu z binarni do desitkove soustavy, tedy jen kladna cisla. */
    c++;
  }
  return 0;
}
Tento program vypisuje cyklickou řadu od 0 do 255.
Při přičtení čísla 1 k číslu 255 dojde k přetečení a výsledek se vypíše jako 0, viz snímek "Rozsah dvojkového doplňku v 8 bitech" mé přednášky pod odkazem "Přednáška - Čísla v počítači" na stránce http://efis.tul.cz/~dana.nejedlova/

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%u ", c);
    c++;
  }
  return 0;
}
Tento program se od toho předchozího liší tím, že proměnná c je typu char a ne unsigned char.
Řídící řetězec formátu "%u " potom hodnotu proměnné c vypisuje po přetečení jako 4294967168.
K přetečení dojde po přičtení čísla 1 k číslu 127. Datový typ char bez modifikátoru unsigned je totiž znaménkový, a proto k přetečení dojde už po hodnotě 127 a ne až po hodnotě 255.
Tento znaménkový datový typ zde vypisujeme pomocí řídícího řetězce formátu "%u ", který je pro neznaménkové datové typy.
Hodnota 4294967168 vznikla tak, že se k řádově nejnižším bitům 10000000 připojily řádově vyšší 3 bajty se samými jedničkami, což je možné vidět windowsovské kalkulačce v režimu Programátorská.
Toto chování je pravděpodobně závislé na platformě, viz https://stackoverflow.com/questions/51047929/assigning-128-to-char-variable-in-c/51048273

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%d ", c); /* Ridici retezec formatu "%d " vypisuje hodnoty dle pravidel pro dvojkový doplňek, tedy znaménková cisla. */
    c++;
  }
  return 0;
}
Tento program vypisuje cyklickou řadu od -128 do 127.
Při přičtení čísla 1 k číslu 127 dojde k přetečení a výsledek se vypíše jako -128.

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%d ", c);
    c--; /*c = c - 1;*/
  }
  return 0;
}
Tento program odečítá jedničku od proměnné c.
Při odečtení čísla 1 od čísla -128 dojde k podtečení a výsledek se vypíše jako 127.

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
  int i;
  unsigned char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%c ", c); /* Ridici retezec formatu "%c " vypisuje znaky. */
    c++;
  }
  return 0;
}
Tento program místo čísel vypisuje cyklicky znaky dle ASCII tabulky, viz https://en.wikipedia.org/wiki/ASCII
Program čtyřikrát pípne, protože jeden ze znaků je Bell, viz https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_character

#include <stdio.h>
#define MAX 300
int main()
{
  int i;
  unsigned char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%d-%c ", c, c);
    c++; /*c = c - 1;*/
  }
  return 0;
}
Tento program vypisuje cyklicky kód znaku, znak "-" a znak.

#include <stdio.h>
#define MAX 300
int main()
{
  int i;
  unsigned char c = 0;
  for (i = 0; i < MAX; i++) {
    printf("%o-%d-%x-%c\n", c, c, c, c);
    c++;
  }
  return 0;
}
Tento program vypisuje cyklicky
kód znaku v osmičkové soustavě, znak "-",
kód znaku v desítkové soustavě, znak "-",
kód znaku v šestnáctkové soustavě, znak "-" a znak.
Za každým znakem je konec řádku a, protože se do konzole vejde jen omezený počet řádků, tak se na ní nezobrazuje řada od kódu 0 ale od kódu 6.
Zatímco v ASCII tabulce jsou jen sedmibitové znaky, tento program vyisuje i znaky, které mají řádově nejvyšší osmý bit rovný jedné.

Zaokrouhlovací chyby reálných čísel

Kvadratická rovnice
https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvadratick%C3%A1_rovnice
Rovnice (x-0.1)*(x-0.1)=0 má jediné řešení x=0.1.
Pokud je ve tvaru axx + bx + c = 0, tak a = 1, b = -0.2, c = 0.01 a použijeme vzorec
(-b+-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)
tak diskriminant = b*b-4*a*c testujeme na rovnost nule, ale nemusí nám nula vyjít přesně.
Takže test "if (diskriminant == 0)" nepracuje správně.

#include <stdio.h>
int main()
{
  float a = 1, b = -0.2, c = 0.01, diskriminant;
  diskriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (diskriminant == 0) {
    printf("jeden koren\n");
  } else {
    printf("dva koreny\n");
  }
  printf("Diskriminant = %.*f\n", 20, diskriminant);
  return 0;
}
Tento program vypíše "dva koreny" a hodnotu diskriminantu na 20 desetinných míst, kde je vidět, že to není přesná nula.
Definujeme proto konstantu PRESNOST = 0.0001 a testujeme "if (fabs(d) < PRESNOST)".

#include <stdio.h>
#include <math.h> /* kvuli funkci fabs() */
#define PRESNOST 0.000001
int main()
{
  float a = 1, b = -0.2, c = 0.01, diskriminant;
  diskriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (fabs(diskriminant) < PRESNOST) {
    printf("jeden koren\n");
  } else {
    printf("dva koreny\n");
  }
  printf("Diskriminant = %.*f\n", 20, diskriminant);
  return 0;
}
Tento program správně vypíše "jeden koren".
Kdybychom řešili kvadratickou rovnici
(x-0.1)*(x-0.100000000001)=0 ve tvaru axx + bx + c = 0, tak a = 1, b = -0.200000000001, c = 0.0100000000001,

#include <stdio.h>
#include <math.h> /* kvuli funkci fabs() */
#define PRESNOST 0.000001
int main()
{
  float a = 1, b = -0.200000000001, c = 0.0100000000001, diskriminant;
  diskriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (fabs(diskriminant) < PRESNOST) {
    printf("jeden koren\n");
  } else {
    printf("dva koreny\n");
  }
  printf("Diskriminant = %.*f\n", 20, diskriminant);
  return 0;
}
tak tento program vypíše nesprávně "jeden koren", ale nedá se to řešit zvýšením přesnosti například
#define PRESNOST 0.00000000000000001
Potom sice pro tuto úlohu program vypíše správně "dva koreny", ale pro předchozí rovnici, kde a = 1, b = -0.2, c = 0.01, vypíše také "dva koreny", kde už to bude nesprávně.
Konstanta PRESNOST pro datový typ float (jednoduchá přesnost) nesmí být nižší než 1e-6 a pro datový typ double (dvojnásobná přesnost) 1e-15, viz kapitola "1.3.1 Poučení" mé přednášky pod odkazem "Přednášky" na stránce http://efis.tul.cz/~dana.nejedlova/

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PRESNOST 1e-10 /* 0.0000000001 */
#define POCET_DES_MIST 20
int main()
{
  double a = 1, b = -0.2, c = 0.01, diskriminant;
  diskriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (fabs(diskriminant) < PRESNOST) {
    printf("jeden koren\n");
  } else {
    printf("dva koreny\n");
  }
  printf("Diskriminant = %.*f\n", POCET_DES_MIST, fabs(diskriminant));
  printf("PRESNOST     = %.*f\n", POCET_DES_MIST, PRESNOST);
  return 0;
}
Tento program ukazuje, že pro datový typ double se diskriminant spočítá přesněji než pro datový typ float.

Kompletní pravidla pro výpis dat funkcí printf() jsou na stránce http://www.cplusplus.com/reference/cstdio/printf/